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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 7: Estudio de Funciones

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5. Encuentre, si las hay, las ecuaciones de las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas (tanto para x→+∞x \rightarrow +\infty como para x→−∞x \rightarrow -\infty) de las siguientes funciones. Localice en un dibujo, la posición del gráfico de la función con respecto a las asíntotas halladas
e) f(x)=3ex5ex+1f(x)=\frac{3 e^{x}}{5 e^{x}+1}

Respuesta

Asíntotas verticales

El dominio de esta función es R\mathbb{R} (acordate que la exponencial siempre es mayor estricto que cero, por lo tanto 5ex+15e^x +1 nunca puede vale cero) Esta función, entonces, no tiene asíntotas verticales

Asintotas horizontales

lim⁡x→+∞ 3ex5ex+1\lim_{x \to +\infty} \frac{3 e^{x}}{5 e^{x}+1}

Estamos frente a un "infinito sobre infinito", aplicamos L'Hopital

lim⁡x→+∞ 3ex5ex=35\lim_{x \to +\infty} \frac{3 e^{x}}{5 e^{x}} = \frac{3}{5}

Vamooooos! Después de lo que venía sufriendo escribiendo los choclazos de los items anteriores, no se imaginan cómo estoy disfrutando esto jajaja...  f(x)f(x) tiene una asíntota horizontal en y= 35y = \frac{3}{5} en +∞+\infty.

Ahora veamos qué pasa en −∞-\infty

lim⁡x→−∞ 3ex5ex+1=0\lim_{x \to -\infty} \frac{3 e^{x}}{5 e^{x}+1} = 0

Hermoso, no hay ninguna indeterminación ni siquiera. El numerador tiende a 00 y el denominador tiende a 11, por lo tanto el límite da 00, y decimos que ff tiene una asíntota horizontal en y=0y = 0 en −∞-\infty.

Como ya tenemos asíntotas horizontales en ++ y en −∞-\infty, entonces ya sabemos que no va a haber asíntotas oblicuas y el ejercicio terminó acá. 
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